$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray}\lambda&=&\dfrac{h}{p}\end{eqnarray}\tag{1} }}$$
前回の式変形で違和感を覚えてしまったこの等式、量子力学の考えから容易に導くことができます。
まず、以下のようなハミルトニアンを考えます。
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray}\hat{H}&=&\dfrac{\hat{p}^2}{2m}\end{eqnarray}\tag{2} }}$$
この時、このハミルトニアンは運動量演算子と可換(入れ替えても一緒)ですので、交換関係は以下が成り立ちます。
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray}[~\hat{H},~\hat{p}~]=0\end{eqnarray}\tag{3} }}$$
(3)式から言えることは二つです。
①ハミルトニアンと可換な演算子は保存量である。②可換な演算子は同時固有関数を持つ。(同じ固有状態を持つ)
上記の二つはネットで調べればすぐ出てくると思うので具体的な証明はしません。
①に関してはハイゼンベルク方程式をしらべるとわかりやすいかもしれません。
ってことで(2)式のようなハミルトニアンの時、運動量は保存されて、固有関数は運動量演算子のものと一致してもよいことが分かりました！
運動量が保存されるってことで、その運動量の方向にX軸を考えれば、一次元のみの取り扱いで問題を解くことができるので、そのように設定します。
ってことで実際に固有方程式を解いていきます。(一次元化したもの)
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray}\dfrac{\hat{p}^2}{2m}\phi(x)=E\phi(x)\end{eqnarray}\tag{4} }}$$
運動量演算子を具体的な微分形にすると、、
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray}-\dfrac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 }{d x^2}\phi(x,t)=E\phi(x)\end{eqnarray}\tag{5} }}$$
少し、整理すると、、、
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray}\frac{d^2 }{d x^2}\phi(x,t)=-\dfrac{2mE}{\hbar^2}\phi(x)\end{eqnarray}\tag{6} }}$$
この式は、単振動の微分方程式ですよね。
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray}\phi(x)&=&A(\mathrm{e}^{ikx}+\mathrm{e}^{-ikx})\\k&=&\sqrt{\dfrac{2mE}{\hbar^2}}\end{eqnarray}\tag{7} }}$$
波数kを用いて解は上記のように表現されますね。(Aは規格化定数)
固有関数が求まりました！！これは、運動量演算子の固有関数でもありますので運動量演算子を持ちいて運動量をもとめることができます。実際にもとめると、、、、
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray}\dfrac{\hbar}{i}\frac{d}{d x}\phi(x)&=&k\hbar\phi(x)\end{eqnarray}\tag{8} }}$$
となるでしょう。運動量は、
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray}p&=&k\hbar\end{eqnarray}\tag{9} }}$$
ですね。ってことでドブロイ波長を求める準備が出揃いました。
波数と波長の関係式は以下のようにあります。
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray}\lambda=\dfrac{2\pi}{k}\end{eqnarray}\tag{10} }}$$
先ほどの(9)の運動量を(10)に代入すると、、
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray}\lambda=\dfrac{2\pi \hbar}{p}\end{eqnarray}\tag{11} }}$$
ってことで、、、換算プランク定数をプランク定数に置き換えると、
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray}\lambda=\dfrac{h}{p}\end{eqnarray}\tag{12} }}$$
ドブロイ波長を導くことができました！
おそらくドブロイさんはこのような思考を組んだのかなーなんて思ったりします。
もし、この公式を忘れてしまったときは、係数が付かないことを覚えておけば単位の次元合わせでなんとかなりそうですね！
以上！ありがとうございました
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